심플하고 차분하게

|  점화식과 재귀함수

✏️ 개념 정리

(1) 점화식 (Recurrence) : 어떤 수열의 일반항을 그 이전의 항들을 이용하여 정의한 식

- ex. 피보나치 수열

- 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13....

- F1 = F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn

(2) 재귀함수 (Recursion) 

- 종료조건 + 자기 자신을 호출

🛎재귀함수 문제풀기_백준 17478 재귀함수가 뭔가요?

|  문제 

평소에 질문을 잘 받아주기로 유명한 중앙대학교의 JH 교수님은 학생들로부터 재귀함수가 무엇인지에 대하여 많은 질문을 받아왔다.

매번 질문을 잘 받아주셨던 JH 교수님이지만 그는 중앙대학교가 자신과 맞는가에 대한 고민을 항상 해왔다.

중앙대학교와 자신의 길이 맞지 않다고 생각한 JH 교수님은 결국 중앙대학교를 떠나기로 결정하였다.

떠나기 전까지도 제자들을 생각하셨던 JH 교수님은 재귀함수가 무엇인지 물어보는 학생들을 위한 작은 선물로 자동 응답 챗봇을 준비하기로 했다.

JH 교수님이 만들 챗봇의 응답을 출력하는 프로그램을 만들어보자.

|  입력

교수님이 출력을 원하는 재귀 횟수 N(1 ≤ N ≤ 50)이 주어진다.

|  출력

출력 예시를 보고 재귀 횟수에 따른 챗봇의 응답을 출력한다.

|  예제 입력

2

|  예제 출력

어느 한 컴퓨터공학과 학생이 유명한 교수님을 찾아가 물었다.
"재귀함수가 뭔가요?"
"잘 들어보게. 옛날옛날 한 산 꼭대기에 이세상 모든 지식을 통달한 선인이 있었어.
마을 사람들은 모두 그 선인에게 수많은 질문을 했고, 모두 지혜롭게 대답해 주었지.
그의 답은 대부분 옳았다고 하네. 그런데 어느 날, 그 선인에게 한 선비가 찾아와서 물었어."
____"재귀함수가 뭔가요?"
____"잘 들어보게. 옛날옛날 한 산 꼭대기에 이세상 모든 지식을 통달한 선인이 있었어.
____마을 사람들은 모두 그 선인에게 수많은 질문을 했고, 모두 지혜롭게 대답해 주었지.
____그의 답은 대부분 옳았다고 하네. 그런데 어느 날, 그 선인에게 한 선비가 찾아와서 물었어."
________"재귀함수가 뭔가요?"
________"재귀함수는 자기 자신을 호출하는 함수라네"
________라고 답변하였지.
____라고 답변하였지.
라고 답변하였지.

🔎 문제분석

- 재귀함수가 호출때마다 들여쓰기가 이루어졌다. 

- N을 -1하여, N이 0이 될 때 "재귀함수는 자기 자신을 호출하는~"을 답하는 걸 볼 수 있다.

- 답변이 모두 끝나면 추가로 "라고 답변하였지"가 들어갔다.

💻 코드 구현

import java.io.BufferedReader;
import java.io.BufferedWriter;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;

public class Main {

    public static void solution(int N, StringBuilder sb, String indent) {

        String ask = "\"재귀함수가 뭔가요?\"\n";

        String[] answer1 = {"\"잘 들어보게. 옛날옛날 한 산 꼭대기에 이세상 모든 지식을 통달한 선인이 있었어.\n" ,
                "마을 사람들은 모두 그 선인에게 수많은 질문을 했고, 모두 지혜롭게 대답해 주었지.\n" ,
                "그의 답은 대부분 옳았다고 하네. 그런데 어느 날, 그 선인에게 한 선비가 찾아와서 물었어.\"\n"};

        String answer2 = "\"재귀함수는 자기 자신을 호출하는 함수라네\"\n";

        String closing = "라고 답변하였지.\n";

        //탈출문
        if (N == 0) {
            sb.append(indent);
            sb.append(ask);
            sb.append(indent);
            sb.append(answer2);
            sb.append(indent);
            sb.append(closing);
            return;
        }

        sb.append(indent);
        sb.append(ask);
        for (String s : answer1) {
            sb.append(indent);
            sb.append(s);
        }
        solution(N - 1, sb, indent + "____");
        sb.append(indent);
        sb.append(closing);

    }

    public static void main(String[] args) throws Exception {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringBuilder sb = new StringBuilder();

        int N = Integer.parseInt(br.readLine());
        String indent = "";//들여쓰기 최초

        sb.append("어느 한 컴퓨터공학과 학생이 유명한 교수님을 찾아가 물었다.\n");
        solution(N, sb, indent);

        BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        bw.write(sb.toString());
        bw.flush();
        bw.close();

    }
}

🛎점화식문제풀기 _   백준 13699_점화식

|  문제 

다음의 점화식에 의해 정의된 수열 t(n)을 생각하자:

• t(0)=1
• t(n)=t(0)*t(n-1)+t(1)*t(n-2)+...+t(n-1)*t(0)

이 정의에 따르면,

• t(1)=t(0)*t(0)=1
• t(2)=t(0)*t(1)+t(1)*t(0)=2
• t(3)=t(0)*t(2)+t(1)*t(1)+t(2)*t(0)=5
• ...

주어진 입력 0 ≤ n ≤ 35에 대하여 t(n)을 출력하는 프로그램을 작성하시오.

|  입력

첫째 줄에 n (0 ≤ n ≤ 35)이 주어진다.

|  출력

첫째 줄에 t(n)을 출력한다.

|  예제 입력

25

|  예제 출력

4861946401452

🔎 문제분석

- F0 = 1

- F1 = (F0 * F0) = 1 * 1 = 1 

- F2 = (F0 * F1) + (F1 * F0)  = (1 * 1) + (1 * 1) = 1 (1 + 1) = 2                                                         

- F3 = (F0 * F2) + (F1 * F1) + (F2 * F0)  = (1 * 2) + (1 * 1) + (2*1) = 2 (1 + 1) + (1 * 1) = 5

- F4 = (F0 * F3) + (F1 * F2) + (F2 * F1) + (F3 * F0) =  (1 * 5) + (1 * 2) + (2 * 1) + (5 * 1) = 5 ( 1 + 1 ) + 2 ( 1 + 1 ) 

**재귀로 풀어보려다가 몇 시간을 썼다... 하아.. 

**결국 반복문으로 풀어보았다.

- 원리는 바깥 for문에서는 F0부터 Fn까지를 하나씩 호출하고, 안쪽에서는 점화식에 따라 F0에서 Fn의 값을 계산하여 넣어주는 방식이다.

- 점화식의 값을 넣어주는 tArr 배열의 크기는 n의 범위 (0~35)에 맞추어 총 36개를 지정해주었다.... 

💻 코드 구현

import java.io.BufferedReader;
import java.io.BufferedWriter;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;

public class Main {

    public static long solution(int N) {

        long[] tArr = new long[36];

        for (int i = 0; i <= N; i++) {

            if (i == 0) {
                tArr[i] = 1;
                continue;
            }

            for (int j = 0; j < i; j++) {
                tArr[i] += tArr[j] * tArr[i - 1 - j];
            }
        }

        return tArr[N];
    }

    public static void main(String[] args) {
        //System.out.println(solution(3)); // 5
        //System.out.println(solution(25)); // 4861946401452
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));

        try {
            int N = Integer.parseInt(br.readLine());
            bw.write(String.valueOf(solution(N)));
            bw.flush();
            bw.close();
        } catch (Exception e) {
            System.out.println("Error Occured!");
        }

    }
}

|  조합 (Combination)

✏️ 개념 정리

(1) 조합 : 서로 다른 N개의 수에서 R개를 뽑아 나열하는 경우의 수

- 서로 다른 n개 중에서 r개를 선택하는 경우의 수 (순서 X, 중복 X)

- nCr = n! / (n-r)!r! = nPr / r!  (단, 0 < r <= n)

(2) 중복 조합 : 순서 X, 중복 O

- nHr = n+r-1Cr

💻 구현하기

[ 조합 구현 _ 재귀 :  교환 없이 방문배열을 통해 출력하기 ]

✅  조합 : 서로다른 n개의 수에서 r개를 중복없이 순서를 고려하지 않고 나열하는 것

✅  구현 방법

[입력]

서로 다른 n개의 수를 담은 배열(int[] arr)과, 깊이 인덱스(depth), 배열의 길이(n), 선택하려는 갯수(r=2),

방문위치를 알려줄 배열(int[] visited)을 인자로 받는다.

*알고리즘이 시작되면, 선택 가능 갯수(r)는 처음입력받은 수(r=2)이다.

*깊이는 선택하려는 숫자의 인덱스를 의미한다.

*조합 알고리즘에서는 순서를 고려하지 않기 때문에, r을 기준으로 depth를 조정한다.

[처리]

선택 가능 갯수(r)를 기준으로, depth를 하나씩 방문하며 r == 0 일때에 출력한다.

※ 그림으로 본 조합 알고리즘 모습

✅  구현 하기

void combination(int[] arr, boolean[] visited, int depth, int n, int r) {
        if (r == 0) {
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (visited[i]) {
                    System.out.print(arr[i] + " ");
                }
            }
            System.out.println();
            return;
        }

        if (depth == n) {
            return;
        }

        visited[depth] = true;
        combination(arr, visited, depth + 1, n, r - 1);

        visited[depth] = false;
        combination(arr, visited, depth + 1, n, r);
}

|  순열 (permutation)

✏️ 개념 정리

(1) 팩토리얼 : 서로다른 N개의 수를 일열로 나열하는 전체 경우의 수

- 1~n까지 모든 자연수의 곱 (n!) --- 단, 0!은 1이다.

- n! = n*(n-1)...*1

(2) 순열 : 서로 다른 N개의 수에서 R개를 뽑아 나열하되, 순서대로 나열하는 경우의 수 

- 서로 다른 n개 중 r개를 선택하는 경우의 수 (순서 O, 중복 X)

- nPr = n! / (n-r)! = n(n-1)(n-2)....(n-r+1) (단, 0<r<=n)

(3) 중복 순열 : 서로 다른 n개 중 r개를 선택하는 경우의 수 (순서 O, 중복 O)

- nㅠr = n의 r 승

(4) 원 순열 : 원 모양의 테이블에 n개의 원소를 나열하는 경우의 수

- n!/n = (n-1)!

💻 구현하기

[ 순열 구현 1_ 재귀 : 깊이에 따른 순차 교환 ]

✅  순열 : 서로다른 n개의 수에서 r개를 중복없이 순서를 고려하여 나열하는 것

✅  구현 방법

[입력]

서로 다른 n개의 수를 담은 배열과, 깊이 인덱스(depth), 배열의 길이(n), 선택하려는 갯수(r)를 인자로 받는다. 

*알고리즘이 시작되면, 깊이 인덱스(depth)는 0이다.

*깊이는 선택하려는 숫자의 인덱스를 의미한다.  

[처리]

현재 깊이(depth=0)와 깊이 인덱스부터(i=depth)~배열의 끝(i=n-1)까지 중 하나를 교환하고 깊이를 높혀줄 것이다. 

1. 현재 깊이 인덱스(depth=0)와 하나의 인덱스(i=depth=0)를 교환한다.

2. 깊이 인덱스를 하나 높혀준다.(depth=0+1=1)

2. 위의 1)~2) 과정을 반복한 뒤, 선택 가능 갯수를 초과할 때(depth == r) 탈출한다.

3. 탈출 후 더 낮은 깊이에서 정상교환이 이루어지도록 교환한 것을 재교환한다.

※ 그림으로 본 순열 알고리즘 모습

✅  구현 하기

void permutation(int[] arr, int depth, int n, int r) {

    if (depth == r) {
        for (int i = 0; i < r; i++) {
            System.out.print(arr[i] + " ");
        }
        System.out.println();
        return;
    }

    for (int i = depth; i < n; i++) {
        swap(arr, depth, i);
        permutation(arr, depth + 1, n, r);
        swap(arr, depth, i);
    }

}

public void swap(int[] arr, int a, int b) {
    int tmp = arr[a];
    arr[a] = arr[b];
    arr[b] = tmp;
}

[ 순열 구현 2_ 재귀 :  교환 없이 추가배열을 통해 출력하기 ]

✅  순열 : 서로다른 n개의 수에서 r개를 중복없이 순서를 고려하여 나열하는 것

✅  구현 방법

[입력]

서로 다른 n개의 수를 담은 배열(int[] arr)과, 깊이 인덱스(depth), 배열의 길이(n), 선택하려는 갯수(r),

방문위치를 알려줄 배열(int[] visited), 출력 배열(int[] out)을 인자로 받는다.

*알고리즘이 시작되면, 깊이 인덱스(depth)는 0이다.

*깊이는 선택하려는 숫자의 인덱스를 의미한다.  

[처리]

현재 깊이(depth=0)에서 배열의 첫번째(i=0)~배열의 끝(i=n-1)까지 중 방문하지 않았던 곳을 출력배열에 출력할 것이다.

1. 현재 깊이 인덱스(depth=0) : 방문하지 않았던 곳(i=0)을 체크 후, 출력배열에 출력한다.(out[depth] = arr[i])

2. 깊이 인덱스를 하나 높혀준다.(depth=0+1=1)

2. 위의 1)~2) 과정을 반복한 뒤, 선택 가능 갯수를 초과할 때(depth == r) 탈출한다.

3. 탈출 후 더 낮은 깊이에서 정상출력이 가능하도록 방문했던 곳을 미방문상태(false)로 변경한다.

※ 그림으로 본 순열 알고리즘 모습

✅  구현 하기

void permutation(int[] arr, int depth, int n, int r, boolean[] visited, int[] out) {

    if (depth == r) {
        System.out.println(Arrays.toString(out));
        return;
    }

    for (int i = depth; i < n; i++) {
        if (!visited[i]) {
            visited[i] = true;
            out[depth] = arr[i];
            permutation(arr, depth + 1, n, r, visited, out);
            visited[i] = false;
        }
    }

}

|  집합(Set)

✏️ 개념 정리 

특정 조건에 맞는 원소들의 모임

- 특징

중복되지 않은 수들을 한 곳에 모아놓는 것으로, 자바에서는 Set을 사용해 중복데이터를 거를 수 있다.

- 종류

💻 구현하기

[ HashSet 구현해보기 ]

|  경우의 수

✏️ 개념 정리 

어떤 사건에서 일어날 수 있는 경우의 가짓수 : n(A)

(1) 약수 

- 6의 약수는 1,2,3,6

- N의 약수를 코드로 구할 때 루프를 사용한다면 N/2만큼만 루프를 돌려 나누어떨어지는 수를 구하고, 마지막으로 자기 자신을 더해주면 된다 (why? 2로 나누었을 때 절반까지만 나눠질것)

(2) 최대공약수

- A와 B의 약수 중 가장 큰 공통된 수

(3) 최소공배수 

- A와 B의 배수 중 가장 작은 공통된 수

- 최소공배수 = A x B / A와 B의 최대공약수 

💻 구현하기 

[ 경우의 수 - 합의 법칙과 곱의 법칙 ]

[ 약수, 최대공약수, 최소공배수 구하기 ]